Comptez de combien de façons r éléments peuvent être choisis parmi n : combinaisons lorsque l’ordre est indifférent, permutations lorsqu’il compte.
Exemple
Choisir 2 personnes parmi 5 donne 10 combinaisons et 20 permutations. Une main de 5 cartes dans un jeu de 52 compte 2 598 960 combinaisons, et un tirage de 6 numéros parmi 49 en compte 13 983 816.
Méthode de calcul
Les combinaisons comptent les sélections où l’ordre n’intervient pas, avec n!/(r!(n−r)!) évalué par simplification entière, sans arrondi. Les permutations comptent les arrangements ordonnés en multipliant n × (n−1) jusqu’à r positions. Chaque combinaison de r éléments peut être ordonnée de r! façons, donc les permutations valent toujours combinaisons × r! : 10 × 2 = 20.
Remarques importantes
Saisissez des entiers avec r au plus égal à n et n au maximum 1 000. L’outil compte des sélections sans répétition : il ne couvre donc pas les cas où un élément peut être repris, comme un code PIN à 4 chiffres, qui autorise 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 possibilités.
Questions fréquentes
Combinaisons ou permutations ?
Prenez les combinaisons lorsque changer l’ordre des mêmes éléments ne change rien, par exemple pour désigner un comité de 2 personnes parmi 5 : la même paire reste la même dans les deux sens, d’où 10 possibilités. Prenez les permutations lorsque les rôles comptent, par exemple une présidence et un secrétariat, ce qui donne 20.
Pourquoi les nombres augmentent-ils si vite ?
Chaque élément supplémentaire multiplie le décompte. Choisir 3 garnitures parmi 6 donne 20 combinaisons, mais distribuer 5 cartes dans l’ordre parmi 52 donne 311 875 200 permutations. Une loterie à 13 983 816 combinaisons signifie qu’un bulletin a 1 chance sur 13 983 816 de trouver les six numéros.
Que se passe-t-il aux extrêmes, avec r = 0 ou r = n ?
Choisir zéro élément donne exactement une combinaison et une permutation : la sélection vide. Choisir les 10 éléments sur 10 donne aussi une seule combinaison, car il n’existe qu’un ensemble possible, mais 3 628 800 permutations, soit 10 factorielle, puisque chaque ordre compte séparément.