順番を区別するかを決める
選べる項目の総数 n と、選ぶ数 r を入力します。5人から委員を2人選ぶ組合せは10通りで、AさんとBさんの組はBさんとAさんの組と同じです。同じ5人から委員長と書記を1人ずつ選ぶ順列は20通りで、役割があるため順番が区別されます。r個の組合せはそれぞれ r! 通りに並べられるので、順列は常に組合せ×r! で、10 × 2 = 20です。
組合せと順列計算機
n個からr個を選ぶ方法の数を、順序を考えない組み合わせと順序を考える順列の両方で数えます。
計算は端末内で行われ、入力値をサーバーへ送りません。
具体例
5人から2人を選ぶ場合、組み合わせは10通り、順列は20通りです。52枚のトランプから5枚の手札は2,598,960通り、49個から6個を選ぶ宝くじは13,983,816通りになります。
計算方法・仕組み
組み合わせは順序を区別しない選び方で、n!/(r!(n−r)!) を整数のまま約分しながら計算するため丸めは起きません。順列は順序を区別した並べ方で、n×(n−1)…とr個分を掛けて求めます。r個の組み合わせはそれぞれr!通りに並べられるので、順列は常に「組み合わせ×r!」です。10 × 2 = 20 がその例です。
注意事項
rはn以下、nは1,000以下の整数で入力してください。このツールは同じものを2回選べない場合の数え方で、繰り返しを許す場合には対応していません。4桁の暗証番号なら10 × 10 × 10 × 10 = 10,000通りのように、別の計算になります。
実際の数は急激に大きくなる
52枚のトランプから5枚の手札を選ぶ組合せは2,598,960通り、5枚を順番に配る順列は311,875,200通りです。49個の数字から6個を選ぶくじは13,983,816通りなので、1枚で6個すべてが一致する確率は13,983,816分の1です。6種類から3種類のトッピングを選ぶ組合せは20通り、順番付きなら120通りです。結果は整数のまま正確に計算するため、大きな答えも丸められません。
特別な場合と対象外の計算
0個を選ぶ方法は、何も選ばない1通りで、組合せも順列も1です。10個からすべての10個を選ぶ組合せは1通りですが、順列は10! = 3,628,800通りです。入力は整数で、r は n 以下、n は1,000以下にしてください。このツールは同じものを2回選ばない場合を数えます。暗証番号の数字のように重複して選べる場合は累乗を使い、4桁の暗証番号は10 × 10 × 10 × 10 = 10,000通りです。
| 入力 | 結果 |
|---|---|
n 5 · r 2 | C 10 · P 20 |
n 6 · r 3 | C 20 · P 120 |
n 52 · r 5 | C 2,598,960 · P 311,875,200 |
n 49 · r 6 | C 13,983,816 · P 10,068,347,520 |
n 10 · r 0 | C 1 · P 1 |
n 10 · r 10 | C 1 · P 3,628,800 |
よくある質問
組み合わせと順列はどう使い分けますか？
同じ顔ぶれなら並び順が変わっても同じとみなす場合は組み合わせです。5人から2人の委員を選ぶなら、AさんとBさんの組はどちらが先でも同じなので10通りです。役職のように順序や割り当てが意味を持つ場合は順列で、委員長と書記を選ぶなら20通りになります。
数がとても大きくなるのはなぜですか？
対象が1つ増えるたびに場合の数が掛け算で増えるからです。6種類から3種類のトッピングを選ぶ組み合わせは20通りですが、52枚から5枚を順番に配る順列は311,875,200通りです。組み合わせが13,983,816通りの宝くじなら、1口で6個すべて当たる確率は13,983,816分の1です。
r = 0 や r = n のときはどうなりますか？
0個を選ぶ方法は「何も選ばない」という1通りだけで、組み合わせも順列も1です。10個すべてを選ぶ場合、集合としては1通りしかないので組み合わせは1ですが、並べ方は10の階乗である3,628,800通りになります。