標準形の係数を入力
値を入力する前に、すべての項を左辺に移して符号を保ったまま ax² + bx + c = 0 の形に直します。x² − 5x + 6 = 0 なら a = 1、b = −5、c = 6 で、解は3と2です。2x² = 4x + 6 は移項して 2x² − 4x − 6 = 0 とし、a = 2、b = −4、c = −6 で解は3と−1です。x² − 2 = 0 のように項がない場合は、その係数に0を入力します。
二次方程式解算器
2次方程式 ax² + bx + c = 0 を解の公式で解きます。重解や複素数の解にも対応します。
計算は端末内で行われ、入力値をサーバーへ送りません。
具体例
x² − 5x + 6 = 0 なら a = 1、b = −5、c = 6 を入力すると解は3と2、判別式は1です。2x² − 4x − 6 = 0 の解は3と−1で、x² + 2x + 5 = 0 では x = −1 ± 2i になります。
計算方法・仕組み
まず判別式 b² − 4ac を求めます。正なら実数解が2つで (−b ± √判別式) ÷ (2a)、0なら2つの式が同じ値になり重解、負なら実部と虚部に分けた共役な複素数の組を返します。a が0の場合は1次方程式になってしまうため受け付けません。
注意事項
入力する前に、すべての項を片側に移して符号を保ったまま標準形に直してください。項が欠けている場合は係数が0です。x² − 2 = 0 なら b = 0 になります。無理数の解は小数点以下8桁に丸めて表示するため、x² − 2 = 0 は ±1.41421356 と表示されます。
判別式でわかること
判別式 b² − 4ac は、平方根を計算する前に解の種類を決めます。正なら異なる2つの実数解で、x² − 2 = 0 は判別式8、解は約±1.41421356です。0なら重解で、x² + 2x + 1 = 0 は判別式0、x = −1 が重なります。負なら共役な2つの複素数解で、x² + 2x + 5 = 0 は判別式−16、x = −1 ± 2i です。
解の確認と活用
解を元の式に代入して確かめましょう。2x² − 4x − 6 に x = 3 を代入すると 18 − 12 − 6 = 0 です。解からは因数分解の形 a(x − r₁)(x − r₂) もわかり、2x² − 4x − 6 = 2(x − 3)(x + 1) です。a が負でも放物線が上下反転するだけで、−x² + 4 = 0 の解は−2と2です。a が0だと一次方程式になり解は最大1つなので、a = 0 は入力できません。無理数の解は小数第8位までに丸めて表示します。
| 入力 | 結果 |
|---|---|
1, -5, 6 | x = 3, 2 · Δ 1 |
2, -4, -6 | x = 3, -1 · Δ 64 |
1, 0, -2 | x = 1.41421356, -1.41421356 · Δ 8 |
1, 2, 1 | x = -1, -1 · Δ 0 |
1, 2, 5 | x = -1 ± 2i · Δ -16 |
-1, 0, 4 | x = -2, 2 · Δ 16 |
よくある質問
判別式から何が分かりますか？
平方根を計算する前に、解の種類が分かります。x² − 2 = 0 は判別式8で実数解が2つ、x² + 2x + 1 = 0 は判別式0で重解の−1、x² + 2x + 5 = 0 は判別式−16なので解は複素数になります。
求めた解が正しいかどうかはどう確かめますか？
式に代入します。2x² − 4x − 6 に x = 3 を入れると 18 − 12 − 6 = 0 となり、解が正しいことが分かります。また解から因数分解の形 a(x − r₁)(x − r₂) が得られるので、2x² − 4x − 6 は 2(x − 3)(x + 1) と書けます。
2次の係数がマイナスでもよいですか？
はい。a がマイナスでも放物線の向きが変わるだけです。−x² + 4 = 0 は判別式16で、解は−2と2になります。受け付けないのは a が0の場合だけで、1次方程式は解が最大1つであり、解の公式では0で割ることになるためです。