حل المعادلة ax² + bx + c = 0 بالقانون العام، بما في ذلك الجذور المكررة وأزواج الجذور المركبة المترافقة.
تتم الحسابات محلياً ولا نرسل قيمك إلى الخادم.
للمعادلة x² − 5x + 6 = 0 أدخل a = 1 وb = −5 وc = 6، فتكون الجذور 3 و2 والمميز 1. وللمعادلة 2x² − 4x − 6 = 0 تكون الجذور 3 و−1، أما x² + 2x + 5 = 0 فتعطي x = −1 ± 2i.
يُحسب المميز b² − 4ac أولًا. فإذا كان موجبًا فهناك جذران حقيقيان وفق (−b ± √المميز) ÷ (2a)، وإذا كان 0 أعطى الفرعان الجذر المكرر نفسه، وإذا كان سالبًا أعادت الأداة زوجًا مركبًا مترافقًا على صورة جزء حقيقي زائد أو ناقص جزء تخيلي. ولا يمكن أن يكون المعامل a صفرًا، وإلا صارت المعادلة من الدرجة الأولى.
أعد كتابة المعادلة في الصورة القياسية قبل الإدخال بنقل كل الحدود إلى طرف واحد مع الحفاظ على الإشارات. والحد الغائب معامله 0، كما في x² − 2 = 0 حيث b = 0. وتُعرض الجذور غير النسبية مقرَّبة إلى ثماني منازل عشرية، فتظهر x² − 2 = 0 بالجذرين ±1.41421356.
اكتب المعادلة بالصورة ax² + bx + c = 0 قبل إدخال المعاملات: x² − 5x + 6 = 0 جذراها 3 و2، و2x² = 4x + 6 تصبح 2x² − 4x − 6 = 0 وجذراها 3 و−1. يحدد المميز b² − 4ac نوع الحل: موجب يعني جذرين حقيقيين (x² − 2 ← ±1.41421356)، وصفر يعني جذرًا مكررًا (x² + 2x + 1 ← −1)، وسالب يعني جذرين مركبين (x² + 2x + 5 ← −1 ± 2i). تحقّق بالتعويض، ولا يمكن أن يكون a صفرًا.
| الإدخال | النتيجة |
|---|---|
1, -5, 6 | x = 3, 2 · Δ 1 |
2, -4, -6 | x = 3, -1 · Δ 64 |
1, 0, -2 | x = 1.41421356, -1.41421356 · Δ 8 |
1, 2, 1 | x = -1, -1 · Δ 0 |
1, 2, 5 | x = -1 ± 2i · Δ -16 |
-1, 0, 4 | x = -2, 2 · Δ 16 |
يحدد نوع الحل قبل استخراج أي جذر تربيعي. فالمعادلة x² − 2 = 0 مميزها 8 ولها جذران حقيقيان، والمعادلة x² + 2x + 1 = 0 مميزها 0 وجذرها المكرر −1، أما x² + 2x + 5 = 0 فمميزها −16 لذا جذورها مركبة.
عوّض به في المعادلة. بوضع x = 3 في 2x² − 4x − 6 تصبح الحدود 18 − 12 − 6 = 0، إذًا الجذر صحيح. كما تعطي الجذور صورة التحليل a(x − r₁)(x − r₂)، فيمكن كتابة 2x² − 4x − 6 على الصورة 2(x − 3)(x + 1).
نعم. القيمة السالبة لـ a تقلب القطع المكافئ فحسب: فالمعادلة −x² + 4 = 0 مميزها 16 وجذراها −2 و2. ويُرفض فقط أن يكون a صفرًا، لأن المعادلة الخطية لها حل واحد على الأكثر ولأن القانون العام سيقسم على صفر.
اتصل بنا · آلة حساب الصيغة التربيعية