Lösen Sie ax² + bx + c = 0 mit der Lösungsformel, samt doppelter Lösung und konjugiert komplexen Paaren.
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Für x² − 5x + 6 = 0 ergeben a = 1, b = −5 und c = 6 die Lösungen 3 und 2 bei einer Diskriminante von 1. Für 2x² − 4x − 6 = 0 lauten die Lösungen 3 und −1, und x² + 2x + 5 = 0 liefert x = −1 ± 2i.
Zuerst wird die Diskriminante b² − 4ac berechnet. Ist sie positiv, gibt es zwei reelle Lösungen nach (−b ± √Diskriminante) ÷ (2a); ist sie 0, liefern beide Zweige dieselbe doppelte Lösung; ist sie negativ, gibt das Tool ein konjugiert komplexes Paar als Realteil plus oder minus Imaginärteil zurück. Der Koeffizient a darf nicht 0 sein, sonst wäre die Gleichung linear.
Bringen Sie die Gleichung vor der Eingabe in die Normalform, indem Sie alle Terme auf eine Seite holen und die Vorzeichen beibehalten. Ein fehlender Term hat den Koeffizienten 0, wie bei x² − 2 = 0 mit b = 0. Irrationale Lösungen werden auf acht Nachkommastellen gerundet angezeigt, x² − 2 = 0 ergibt also ±1,41421356.
Bringen Sie die Gleichung vor der Eingabe in die Form ax² + bx + c = 0: x² − 5x + 6 = 0 hat die Lösungen 3 und 2; 2x² = 4x + 6 wird zu 2x² − 4x − 6 = 0 mit den Lösungen 3 und −1. Die Diskriminante b² − 4ac bestimmt die Art der Lösungen: positiv – zwei reelle (x² − 2 → ±1,41421356), null – eine doppelte (x² + 2x + 1 → −1), negativ – komplexe Lösungen (x² + 2x + 5 → −1 ± 2i). Prüfen Sie durch Einsetzen; a darf nicht 0 sein.
| Eingabe | Ergebnis |
|---|---|
1, -5, 6 | x = 3, 2 · Δ 1 |
2, -4, -6 | x = 3, -1 · Δ 64 |
1, 0, -2 | x = 1.41421356, -1.41421356 · Δ 8 |
1, 2, 1 | x = -1, -1 · Δ 0 |
1, 2, 5 | x = -1 ± 2i · Δ -16 |
-1, 0, 4 | x = -2, 2 · Δ 16 |
Sie legt die Art der Lösung fest, bevor eine Wurzel gezogen wird. x² − 2 = 0 hat die Diskriminante 8 und zwei reelle Lösungen; x² + 2x + 1 = 0 hat die Diskriminante 0 und die doppelte Lösung −1; und x² + 2x + 5 = 0 hat die Diskriminante −16, die Lösungen sind also komplex.
Setzen Sie sie in die Gleichung ein. Mit x = 3 in 2x² − 4x − 6 ergeben die Terme 18 − 12 − 6 = 0, die Lösung stimmt also. Aus den Lösungen folgt außerdem die Faktorform a(x − r₁)(x − r₂), sodass 2x² − 4x − 6 als 2(x − 3)(x + 1) geschrieben werden kann.
Ja. Ein negatives a spiegelt lediglich die Parabel: −x² + 4 = 0 hat die Diskriminante 16 und die Lösungen −2 und 2. Abgelehnt wird nur a = 0, denn eine lineare Gleichung hat höchstens eine Lösung, und die Formel würde durch null teilen.
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