Résolvez ax² + bx + c = 0 avec la formule quadratique, y compris les racines doubles et les paires complexes conjuguées.
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Pour x² − 5x + 6 = 0, avec a = 1, b = −5 et c = 6, les racines valent 3 et 2 et le discriminant 1. Pour 2x² − 4x − 6 = 0 les racines sont 3 et −1, et x² + 2x + 5 = 0 donne x = −1 ± 2i.
Le discriminant b² − 4ac est calculé en premier. S’il est positif, il existe deux racines réelles, (−b ± √discriminant) ÷ (2a) ; s’il vaut 0, les deux branches donnent la même racine double ; s’il est négatif, l’outil renvoie une paire complexe conjuguée sous la forme d’une partie réelle plus ou moins une partie imaginaire. Le coefficient a ne peut pas valoir 0, sinon l’équation serait linéaire.
Réécrivez l’équation sous forme standard avant la saisie, en ramenant tous les termes d’un même côté et en conservant les signes. Un terme absent a un coefficient nul, comme dans x² − 2 = 0 où b = 0. Les racines irrationnelles sont affichées arrondies à huit décimales : x² − 2 = 0 donne ±1,41421356.
Mettez l’équation sous la forme ax² + bx + c = 0 avant de saisir les coefficients : x² − 5x + 6 = 0 a pour racines 3 et 2 ; 2x² = 4x + 6 devient 2x² − 4x − 6 = 0, de racines 3 et −1. Le discriminant b² − 4ac indique le type de solutions : positif, deux racines réelles (x² − 2 → ±1,41421356) ; nul, une racine double (x² + 2x + 1 → −1) ; négatif, deux racines complexes (x² + 2x + 5 → −1 ± 2i). Vérifiez en remplaçant ; a ne peut pas valoir 0.
| Entrée | Résultat |
|---|---|
1, -5, 6 | x = 3, 2 · Δ 1 |
2, -4, -6 | x = 3, -1 · Δ 64 |
1, 0, -2 | x = 1.41421356, -1.41421356 · Δ 8 |
1, 2, 1 | x = -1, -1 · Δ 0 |
1, 2, 5 | x = -1 ± 2i · Δ -16 |
-1, 0, 4 | x = -2, 2 · Δ 16 |
Il indique le type de solution avant tout calcul de racine carrée. x² − 2 = 0 a un discriminant de 8 et deux racines réelles ; x² + 2x + 1 = 0 a un discriminant nul et la racine double −1 ; x² + 2x + 5 = 0 a un discriminant de −16, ses racines sont donc complexes.
Reportez-la dans l’équation. Avec x = 3 dans 2x² − 4x − 6, les termes donnent 18 − 12 − 6 = 0 : la racine est correcte. Les racines fournissent aussi la forme factorisée a(x − r₁)(x − r₂), si bien que 2x² − 4x − 6 s’écrit 2(x − 3)(x + 1).
Oui. Une valeur négative de a retourne simplement la parabole : −x² + 4 = 0 a un discriminant de 16 et pour racines −2 et 2. Seul a = 0 est refusé, car une équation linéaire admet au plus une solution et la formule diviserait par zéro.
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