क्वाड्रैटिक फॉर्मूला कैलकुलेटर

ax² + bx + c = 0 को द्विघात सूत्र से हल करें, जिसमें दोहरे मूल और सम्मिश्र संयुग्मी युग्म भी शामिल हैं।

गणना आपके डिवाइस पर होती है; हम मान सर्वर पर नहीं भेजते।

उदाहरण

x² − 5x + 6 = 0 के लिए a = 1, b = −5 और c = 6 डालने पर मूल 3 और 2 आते हैं और विविक्तकर 1 होता है। 2x² − 4x − 6 = 0 के मूल 3 और −1 हैं, जबकि x² + 2x + 5 = 0 से x = −1 ± 2i मिलता है।

गणना विधि

पहले विविक्तकर b² − 4ac निकाला जाता है। धनात्मक होने पर दो वास्तविक मूल (−b ± √विविक्तकर) ÷ (2a) से मिलते हैं; 0 होने पर दोनों शाखाएँ एक ही दोहरा मूल देती हैं; और ऋणात्मक होने पर टूल सम्मिश्र संयुग्मी युग्म को वास्तविक भाग तथा काल्पनिक भाग के रूप में लौटाता है। गुणांक a शून्य नहीं हो सकता, वरना समीकरण रैखिक हो जाएगा।

महत्वपूर्ण जानकारी

मान डालने से पहले समीकरण को मानक रूप में लिखें, सभी पदों को एक ओर ले जाकर चिह्न बनाए रखें। जो पद न हो उसका गुणांक 0 होता है, जैसे x² − 2 = 0 में b = 0। अपरिमेय मूल आठ दशमलव स्थानों तक गोल करके दिखाए जाते हैं, इसलिए x² − 2 = 0 पर ±1.41421356 दिखता है।

व्यावहारिक मार्गदर्शन

गुणांक डालने से पहले समीकरण को ax² + bx + c = 0 रूप में लिखें: x² − 5x + 6 = 0 के मूल 3 और 2 हैं; 2x² = 4x + 6 बनता है 2x² − 4x − 6 = 0, जिसके मूल 3 और −1 हैं। विविक्तकर b² − 4ac हल का प्रकार बताता है: धनात्मक पर दो वास्तविक मूल (x² − 2 → ±1.41421356), शून्य पर एक दोहरा मूल (x² + 2x + 1 → −1), ऋणात्मक पर सम्मिश्र मूल (x² + 2x + 5 → −1 ± 2i)। मूल रखकर जाँचें; a शून्य नहीं हो सकता।

व्यावहारिक उदाहरण
इनपुटपरिणाम
1, -5, 6x = 3, 2 · Δ 1
2, -4, -6x = 3, -1 · Δ 64
1, 0, -2x = 1.41421356, -1.41421356 · Δ 8
1, 2, 1x = -1, -1 · Δ 0
1, 2, 5x = -1 ± 2i · Δ -16
-1, 0, 4x = -2, 2 · Δ 16

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

विविक्तकर से क्या पता चलता है?

वर्गमूल निकालने से पहले ही उत्तर का प्रकार पता चल जाता है। x² − 2 = 0 का विविक्तकर 8 है और दो वास्तविक मूल हैं; x² + 2x + 1 = 0 का विविक्तकर 0 है और दोहरा मूल −1; तथा x² + 2x + 5 = 0 का विविक्तकर −16 है, इसलिए इसके मूल सम्मिश्र हैं।

किसी मूल की जाँच कैसे करें?

उसे समीकरण में रखकर देखें। 2x² − 4x − 6 में x = 3 रखने पर पद 18 − 12 − 6 = 0 बनते हैं, यानी मूल सही है। मूलों से गुणनखंड रूप a(x − r₁)(x − r₂) भी मिलता है, इसलिए 2x² − 4x − 6 को 2(x − 3)(x + 1) लिखा जा सकता है।

क्या प्रमुख गुणांक ऋणात्मक हो सकता है?

हाँ। a का ऋणात्मक होना केवल परवलय की दिशा पलटता है: −x² + 4 = 0 का विविक्तकर 16 है और मूल −2 तथा 2 हैं। केवल a = 0 अस्वीकार होता है, क्योंकि रैखिक समीकरण का अधिकतम एक हल होता है और सूत्र में शून्य से भाग देना पड़ता।

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