Resolva ax² + bx + c = 0 com a fórmula quadrática, incluindo raízes repetidas e pares complexos conjugados.
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Para x² − 5x + 6 = 0, com a = 1, b = −5 e c = 6 as raízes são 3 e 2 e o discriminante é 1. Para 2x² − 4x − 6 = 0 as raízes são 3 e −1, e x² + 2x + 5 = 0 dá x = −1 ± 2i.
Primeiro calcula-se o discriminante b² − 4ac. Se ele for positivo, há duas raízes reais, (−b ± √discriminante) ÷ (2a); se for 0, os dois ramos dão a mesma raiz repetida; e se for negativo, a ferramenta devolve um par complexo conjugado como parte real mais ou menos uma parte imaginária. O coeficiente a não pode ser 0, pois a equação seria linear.
Reescreva a equação na forma padrão antes de informar os valores, movendo todos os termos para um lado e mantendo os sinais. Um termo ausente tem coeficiente 0, como em x² − 2 = 0, onde b = 0. Raízes irracionais aparecem arredondadas em oito casas decimais, então x² − 2 = 0 mostra ±1,41421356.
Escreva a equação como ax² + bx + c = 0 antes de digitar os coeficientes: x² − 5x + 6 = 0 tem raízes 3 e 2; 2x² = 4x + 6 vira 2x² − 4x − 6 = 0, com raízes 3 e −1. O discriminante (delta) b² − 4ac indica o tipo de solução: positivo, duas raízes reais (x² − 2 → ±1,41421356); zero, raiz dupla (x² + 2x + 1 → −1); negativo, raízes complexas (x² + 2x + 5 → −1 ± 2i). Confira substituindo a raiz; a não pode ser 0.
| Entrada | Resultado |
|---|---|
1, -5, 6 | x = 3, 2 · Δ 1 |
2, -4, -6 | x = 3, -1 · Δ 64 |
1, 0, -2 | x = 1.41421356, -1.41421356 · Δ 8 |
1, 2, 1 | x = -1, -1 · Δ 0 |
1, 2, 5 | x = -1 ± 2i · Δ -16 |
-1, 0, 4 | x = -2, 2 · Δ 16 |
Ele define o tipo de resposta antes de qualquer raiz quadrada. x² − 2 = 0 tem discriminante 8 e duas raízes reais; x² + 2x + 1 = 0 tem discriminante 0 e a raiz repetida −1; e x² + 2x + 5 = 0 tem discriminante −16, então as raízes são complexas.
Substitua na equação. Com x = 3 em 2x² − 4x − 6, os termos dão 18 − 12 − 6 = 0, então a raiz está certa. As raízes também fornecem a forma fatorada a(x − r₁)(x − r₂), ou seja, 2x² − 4x − 6 pode ser escrita como 2(x − 3)(x + 1).
Pode. Um valor negativo de a apenas inverte a parábola: −x² + 4 = 0 tem discriminante 16 e raízes −2 e 2. Só a = 0 é rejeitado, porque uma equação linear tem no máximo uma solução e a fórmula quadrática dividiria por zero.
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