Решите уравнение ax² + bx + c = 0 по формуле корней, включая кратный корень и пары комплексно-сопряжённых корней.
Расчёты выполняются локально; введённые данные не отправляются на сервер.
Для x² − 5x + 6 = 0 при a = 1, b = −5 и c = 6 корни равны 3 и 2, а дискриминант — 1. У уравнения 2x² − 4x − 6 = 0 корни 3 и −1, а x² + 2x + 5 = 0 даёт x = −1 ± 2i.
Сначала вычисляется дискриминант b² − 4ac. Если он положительный, есть два действительных корня по формуле (−b ± √дискриминант) ÷ (2a); если он равен 0, обе ветви дают один и тот же кратный корень; если он отрицательный, инструмент возвращает пару комплексно-сопряжённых корней в виде действительной части плюс-минус мнимая часть. Коэффициент a не может быть равен 0, иначе уравнение станет линейным.
Перед вводом приведите уравнение к стандартному виду: перенесите все слагаемые в одну часть, сохранив знаки. У отсутствующего слагаемого коэффициент равен 0, как в x² − 2 = 0, где b = 0. Иррациональные корни показываются с округлением до восьми знаков, поэтому x² − 2 = 0 даёт ±1,41421356.
Перед вводом приведите уравнение к виду ax² + bx + c = 0: у x² − 5x + 6 = 0 корни 3 и 2; 2x² = 4x + 6 превращается в 2x² − 4x − 6 = 0 с корнями 3 и −1. Дискриминант b² − 4ac определяет тип решения: положительный — два действительных корня (x² − 2 → ±1,41421356), нулевой — один кратный (x² + 2x + 1 → −1), отрицательный — комплексные корни (x² + 2x + 5 → −1 ± 2i). Проверьте подстановкой; a не может быть 0.
| Ввод | Результат |
|---|---|
1, -5, 6 | x = 3, 2 · Δ 1 |
2, -4, -6 | x = 3, -1 · Δ 64 |
1, 0, -2 | x = 1.41421356, -1.41421356 · Δ 8 |
1, 2, 1 | x = -1, -1 · Δ 0 |
1, 2, 5 | x = -1 ± 2i · Δ -16 |
-1, 0, 4 | x = -2, 2 · Δ 16 |
Он определяет тип решения ещё до извлечения корня. У x² − 2 = 0 дискриминант равен 8 и есть два действительных корня; у x² + 2x + 1 = 0 дискриминант равен 0 и корень −1 повторяется; у x² + 2x + 5 = 0 дискриминант равен −16, поэтому корни комплексные.
Подставьте его в уравнение. При x = 3 в 2x² − 4x − 6 слагаемые дают 18 − 12 − 6 = 0, значит корень верный. По корням также получается разложение a(x − r₁)(x − r₂), поэтому 2x² − 4x − 6 можно записать как 2(x − 3)(x + 1).
Да. Отрицательное значение a лишь переворачивает параболу: у −x² + 4 = 0 дискриминант равен 16, а корни — −2 и 2. Отклоняется только a = 0, потому что линейное уравнение имеет не более одного решения, а формула привела бы к делению на ноль.
Контакты · Калькулятор квадратного уравнения